tauto

tauto は、トートロジー(恒真式、tautology)であることに基づいてゴールを閉じるタクティクです。ゴールを閉じることができなければエラーになります。

import Mathlib.Tactic.Tauto -- `tauto` を使うのに必要


variable (P Q R : Prop)

-- 含意の導入
example (h : P) : Q → P := by
  tauto

-- フレーゲの3段論法
example : (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)) := by
  tauto

-- 否定と同値なら矛盾
example : (P ↔ ¬ P) → False := by
  tauto

tauto が扱えるのは命題論理の範囲で記述できる命題だけです。述語論理における恒真な式は、ごく簡単なものであっても tauto で示せないことがあります。

variable (α : Type) (S : α → Prop)

example : ¬(∀ x, S x) → (∃ x, ¬ S x) := by
  -- `tauto` では示せない
  fail_if_success tauto

  aesop

また、排中律を使わずに示せる命題であっても、tauto は排中律を使って示してしまうことがあります。直観主義論理の枠内で命題を示すには、代わりにitautoを使用してください。

/-- 命題とその否定は同値ではない -/
theorem not_neg_iff {P : Prop} : ¬ (P ↔ ¬ P) := by tauto

-- 選択原理を使っているが、これは排中律を使っているため
/-- info: 'Tauto.not_neg_iff' depends on axioms: [propext, Classical.choice, Quot.sound] -/
#guard_msgs in #print axioms not_neg_iff

-- 実際には排中律は必要ない
theorem not_neg_iff' {P : Prop} : ¬ (P ↔ ¬ P) := by
  intro h
  have hnp : ¬ P := by
    intro hp
    have : ¬ P := by rwa [h] at hp
    contradiction
  have hp : P := by rwa [← h] at hnp
  contradiction

/-- info: 'Tauto.not_neg_iff'' depends on axioms: [propext] -/
#guard_msgs in #print axioms not_neg_iff'

Lean by Example

tauto