tauto
tauto
は、トートロジー(恒真式、tautology)であることに基づいてゴールを閉じるタクティクです。 ゴールを閉じることができなければエラーになります。
import Mathlib.Tactic.Tauto -- `tauto` を使うのに必要
variable (P Q R : Prop)
-- 含意の導入
example (h : P) : Q → P := by
tauto
-- フレーゲの3段論法
example : (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R)) := by
tauto
-- 否定と同値なら矛盾
example : (P ↔ ¬ P) → False := by
tauto
tauto
が扱えるのは命題論理の範囲で記述できる命題だけです。述語論理における恒真な式は、ごく簡単なものであっても tauto
で示せないことがあります。
variable (α : Type) (S : α → Prop)
example : ¬(∀ x, S x) → (∃ x, ¬ S x) := by
-- `tauto` では示せない
fail_if_success tauto
aesop
また、排中律を使わずに示せる命題であっても、tauto
は排中律を使って示してしまうことがあります。直観主義論理の枠内で命題を示すには、代わりにitauto
を使用してください。
/-- 命題とその否定は同値ではない -/
theorem not_neg_iff {P : Prop} : ¬ (P ↔ ¬ P) := by tauto
-- 選択原理を使っているが、これは排中律を使っているため
/-- info: 'Tauto.not_neg_iff' depends on axioms: [propext, Classical.choice, Quot.sound] -/
#guard_msgs in #print axioms not_neg_iff
-- 実際には排中律は必要ない
theorem not_neg_iff' {P : Prop} : ¬ (P ↔ ¬ P) := by
intro h
have hnp : ¬ P := by
intro hp
have : ¬ P := by rwa [h] at hp
contradiction
have hp : P := by rwa [← h] at hnp
contradiction
/-- info: 'Tauto.not_neg_iff'' depends on axioms: [propext] -/
#guard_msgs in #print axioms not_neg_iff'